计算机组成原理 408-2-3

# 浮点数的表示

浮点数分为阶码和尾数部分，一个浮点数可表示为-0.10101*2^

其中阶码可以分为阶符和阶码的数值部分，尾数可以分为数符和尾数的数值部分，如上面的例子

- 为数符，0.10101 为尾数数值部分，+ 为阶符，11011 为阶码数值部分

阶码：常用补码或移码表示的定点整数

尾数：常用原码或补码表示的定点小数

阶码 E 反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置；尾数 M 的数值部分的位数 n 反映浮点数的精度

尾数给出一个小数，阶码指明了小数点要向前 / 向后移动几位

# 规格化浮点数的特点

浮点数尾数的规格化：

规格化浮点数：规定尾数的最高数值位必须是一个有效值

左规：当浮点数运算的结果位非规格化时要进行规格化处理，将尾数算数左移一位，阶码减 1

右规：当浮点数运算的结果尾数出现溢出 (双符号位 01 或 10) 时，将尾数算数右移一位，阶码加 1

注：采用双符号位，当溢出发生时，可以挽救

• 用原码表示的尾数进行规格化：尾数的最高数值位必须是 1

  • 正数为 0.1xxxxxx 的形式，其最大值表示为 0.11......11，最小值表示为 0.10...00。尾数的表示范围为$\frac{1}{2}\le M\le(1-2^{-n})$
  • 负数为 1.1xxxxxx 的形式，其最大值表示为 1.10......00，最小值表示为 1.11...11。尾数的表示范围为-(1-2^{-n})\le M\le -\frac{1}

• 用补码表示尾数进行规格化：尾数的最高数值位必须和尾数符号位相反

  • 正数为 0.1xxxxxx 的形式，其最大值表示为 0.11......11，最小值表示为 0.10...00。尾数的表示范围为$\frac{1}{2}\le M\le(1-2^{-n})$
  • 负数为 1.0xxxxxx 的形式，其最大值表示为 1.01......11，最小值表示为 1.00...00。尾数的表示范围为-1\le M\le -\frac{1}{2}+2^

# IEEE 754

移码：补码的基础上符号位取反。注意：移码只能表示整数

移码定义：移码 = 真值 + 偏置值，8 位移码的编制值 = 128D=10000000B，即2^

IEEE 754 标准：阶码部分用移码表示，尾数部分用源码表示，隐藏表示最高位 1

阶码真值 = 移码 - 偏移量，$m_s$ 位数符，$E$ 为阶码部分，$M$ 为尾数数值位

规格化的短浮点数的真值为：(-1)^s\times1.M\times2^

规格化的长浮点数的真值为：(-1)^s\times1.M\times2^

例：将十进制 - 0.75 转换为 IEEE 754 的单精度浮点数格式表示

(-0.75)_{10}=(-0.11)_2=-(1.1)_2\times2^

数符 = 1 尾数部分.10000....（隐含最高位 1）

阶码真值 - 1，单精度浮点数偏移量 = 127D，移码 = 移码真值 + 偏移量 = 1+1111111=01111110（凑足 8 位）

IEEE 754 单精度浮点数最小绝对值、最大绝对值：

• 最小绝对值：尾数全部为 0，阶码真值最小 1-127=-126，对应移码机器数 0000 0001，此时整体真值为(1.0)_2\times2^

• 最大绝对值：尾数全部为 1，阶码真值最大 127，对应移码机器数 1111 1110，此时整体真值为(1.111...1)_2\times2^

• 阶码最小为 - 128，最大为 127，但是 - 128（全 1）和 - 127（全 0）用来做特殊用途，因此在计算式不适用这两个阶码

双进度浮点数最小绝对值：$1.0\times2^{-1022}$，最大绝对值：1.11..1\times2^{1023}=(2-2^{-52})\times2^

单精度浮点数：

• 只有$1\le E\le 254$ 时，真值 =(-1)^s\times1.M\times2^

• 当阶码 E 全为 0，尾数 M 不全为 0 时，表示非规格化小数：\pm(0.xxxx)_2\times2^

• 当阶码 E 全为 0，尾数 M 全为 0 时，表示真值$\pm0$

• 当阶码 E 全为 1，尾数 M 全为 0 时，表示无穷大$\pm\infin$

• 当阶码 E 全为 1，尾数 M 不全为 0 时，表示非数值 "NaN"（Not a Number）

# 浮点数的运算

• 对阶：使两个数的阶码相等，小阶向大阶看齐，尾数每右移一位，阶码加 1
  • 求阶差判断那个数阶码为小阶
  • 对阶
• 尾数相减：通常采用双符号位表示尾数，这样可以挽救尾数溢出
• 规格化：左规 | 右规
• 舍入
  • 0 舍 1 入法：类似于十进制数运算的四舍五入法，即在尾数右移时，被移去的数值位为 0，则舍去；被移去的数值为 1，则在尾数的末尾加 1。这样做完可能会使尾数溢出，此时需要再做一次右规
  • 恒置 1 法：尾数右移时，不论丢掉的数值位是 1 还是 0，都使右移的尾数末尾恒置 1。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能
• 判溢出
  • 阶码上溢：抛出异常 (中断)
  • 阶码下溢：按机器 0 处理

强制类型转换：

char->int->long->double、float->double 没有精度损失

int->float 会损失精度，float->int：可能溢出及损失精度