首页 计算机科学 计算机组成原理

写在开头：由于原、补码的乘除法运算在考试中一般只占 2 分，所以不想看完全可以跳过

# 奇偶校验码

奇校验码：整个校验码（有效信息和校验位）中 "1" 的个数为奇数

偶校验码：整个校验码（有效信息和校验位）中 "1" 的个数为偶数

  • 例：给出两个编码 1001101 和 1010111 的奇校验码和偶校验码
    • 设最高位为校验位，余 7 位是信息位，则对应的奇偶校验码为：
    • 奇校验：(1) 1001101 (0) 1010111
    • 偶校验：(0) 1001101 (1) 1010111
    • 若发生了 1bit 的数据发生错误，奇偶校验可以检测数错误位
    • 若发生了偶数个 bit 的数据发生错误，奇偶校验无法检测出错误
  • 偶校验的硬件实现：各信息进行异或运算，得到的结果位偶校验位，若结果为 1 说明出错

# 算数逻辑单元 (ALU)

算数运算：加、减、乘、除等

逻辑运算：与、或、非、异或等

辅助功能：移位、求补等

ALU

基本逻辑运算：与、或、非

优先级：与 > 或；与或符合分配律和结合律

本质上逻辑表达式是对电路的数学化描述，简化逻辑表达式就是简化电路

符合逻辑：与非、或非、异或、同或

# 一位全加器 (FA)

  • 输入：
    • AiA_i，BiB_i，Ci−1C_{i-1}(来自低位的进位)，
  • 输出
    • SiS_i (本位的和)：输入中有奇数个 1 时为 1，S_i=A_i\oplus B_i\oplus C_
    • CiC_i (向高位的进位)：输入中至少两个 1，C_i=A_iB_i+(A_i\oplus B_i)C_

# 串行加法器

串行加法器：只有一个全加器，数据逐位串行送入加法器中进行运算。进位触发器用来寄存进位信号，以便参与下一次计算

如果操作数有 n 位，加法就要分 n 次进行，每一次产生一位和，并且串行逐位地送回寄存器

串行加法器

# 并行加法器：

串行进位的并行加法器：把 n 个全加器串接起来，就可以进行两个 n 位数的相加

串行进位并行加法器

串行进位又称为行波进位，每一级进位直接依赖于前一级进位，即进位值号是逐级形成的

并行进位的并行加法器：各级进位信号同时形成，又称为先行进位、同时进位

  • Ci=AiBi+(Ai⊕Bi)(Ai−1Bi−1+(Ai−1⊕Bi−1)(...))C_i=A_iB_i+(A_i\oplus B_i)(A_{i-1}B_{i-1}+(A_{i-1}\oplus B_{i-1})(...))
  • 逐级展开，直到C0C_0
  • 结论：第 i 位向更高位进位CiC_i 可根据被加数、加数的第 1~i 位，再结合C0C_0 即可确定

并行进位并行加法器

# 补码加减运算器

补码加减运算器

n bit 补码 X+Y，按位相加即可

n bit 补码 X-Y，将减数 Y 全部按位取反，末位 + 1，得到 [-Y] 补，减法变加法

无符号整数的加法 / 减法也可用该电路实现

# 原码的加减运算

原码的加法运算：

  • 正 + 正：绝对值做加法，结果为正（可能溢出）
  • 负 + 负：绝对值做加法，结果为负（可能溢出）
  • (正 + 负)/(负 + 正)：绝对值大的减绝对值小的，符号同绝对值大的数

原码的减法运算：

  • 正 - 负：正 + 正
  • 负 - 正：负 + 负
  • 正 - 正：正 + 负
  • 负 - 负：负 + 正

# 补码的加减运算溢出判断

方法一：采用一位符号位

  • 设 A 的符号为ASA_S，B 的符号为BSB_S，运算结果的符号为SSS_S，则溢出的逻辑表达式为：V=ASBSAS‾BS‾SSV=A_SB_S\overline{A_S}\overline{B_S}S_S

  • 若 V=0，表示无溢出

  • 若 V=1，表示有溢出

方法二：采用一位符号位

  • 根据数据进位判断溢出，最高数值位的进位C1C_1，符号位的进位为CSC_S
  • 当CSC_S 与C1C_1 不同时，则有溢出

方法三：采用双符号位

正数符号为 00，负数符号为 11，若两个符号位的两个数字不同，则说明有溢出，反之，则没有溢出

双符号位补码又称：模 4 补码，单符号位补码又称：模 2 补码

双符号位在实际存储时只存储 1 个符号位，运算时会复制一个符号位

# 符号扩展

定点整数的符号扩展：

  • 在原符号位和数值位中间添加新位，正数都添 0，负数原码添 0，负数反、补码添 1

定点小数的符号扩展：

  • 在原符号位和数值位后面添加新位，正数都添 0，负数原、补码添 0，负数反码添 1

# 标志位的生成

OF：溢出标志，溢出时为 1，否则置 0

  • 硬件的计算方法：OF = 最高位产生的进位异或次高位产生的进位

SF：符号标志，结果为负时为 1，否则置 0

  • 硬件的计算方法：最高位的本位和

ZF：零标志，运算结果为 0 时，ZF 为 1，否则置 0

  • 硬件的计算方法：两个数的运算结果为 nbit，只有 n bit 全为 0 时，ZF=1

CF：进位 / 借位标志，进位 / 错位时置 1，否则置 0

  • 硬件的计算方法：CF = 最高位产生的进位异或 sub（sub=0 表示加法，sub=1 表示减法）

OF、SF 仅对有符号数加减法有效，ZCF 仅对无符号数加减法有效

# 移位

移位：通过改变各个数码和小数点的相对位置，从而改变各数码位的位权。可用移位运算实现乘法、除法

  • 原码的算数移位：符号位保持不变，仅对数值位进行移位

    • 右移：高位补 0，低位舍弃。若舍弃的位 = 0，则相当于除 2，若舍弃的位不等于 0，则会丢失精度

    • 左移：低位补 0，高位舍弃。若舍弃的位 = 0，则相当于乘 2，若舍弃的位不等于 0，则会出现严重误差

  • 反码的算数移位：

    • 正数的反码与原码相同，因此对正数反码的移位运算也与原码相同
    • 负数的反码数值位于原码相反
      • 右移：高位补 1，低位舍弃
      • 左移：低位补 1，高位舍弃

  • 补码的算数移位：

    • 正数的补码与原码相同，因此对正数反码的移位运算也与原码相同
    • 负数补码 = 反码末位 + 1，导致反码最右边几个连续的 1 都因进位而变 0，直到第一个 0 为止
      • 规律 —— 负数补码中，最右边的 1 及其右边同原码。最右边的 1 的左边同反码
      • 右移（同反码）—— 高位补 1，低位舍弃
      • 左移（同原码）—— 低位补 0，高位舍弃

逻辑移位：左移、右移都补 0，移出的位舍弃

循环移位：

  • 不带进位：用移出的位补上空缺
  • 带进位：移出的位放到进位位，原进位位补上空缺

注意：由于原、反、补码位数有限，因此在某些时候算数移位不能精确等效乘法、除法

# 原码的乘法计算

原码的一位乘法：

  • 符号单独处理：符号位 =xs⊕ysx_s\oplus y_s

  • 数值位取绝对值进行乘法计算

  • 实现方法：先加法再移位，重复 n 次（移位为逻辑移位）

  • 每次加法可能 + 0，+[|x|] 原（根据当前 MQ 中的最低位来确定加什么）

    • MQ 中最低位 = 1 时，(ACC)+[|x|] 原
    • MQ 中最低位 = 0 时，(ACC)+0

# 补码的乘法计算

补码的一位乘法：

  • 进行 n 轮加法、移位，最后再多来一次加法

  • 每次加法可能 + 0，+[x] 补，+[-x] 补（根据当前 MQ 中的最低位、辅助位来确定加什么）

    • 辅助位 - MQ 中最低位 = 1 时，(ACC)+[x] 补
    • 辅助位 - MQ 中最低位 = 0 时，(ACC)+0
    • 辅助位 - MQ 中最低位 =-1 时，(ACC)+[-x] 补

  • 每次右移为补码的算数右移

  • 符号位参与运算

  • 辅助位初始为 0。每次右移会使 MQ 的最低位顶替原本的辅助位（事实上 MQ 共 n+2 位）

  • 所有寄存器都统一用 n+2 位，因此采用双符号位补码运算

# 原码的除法运算

规律：忽略小数点，每确定一位商，进行一次减法，得到 4 位余数，在余数末尾补 0，再确定下一位商。确定 5 位商即可停止（机器字长为 5 位）

  • 恢复余数法：

    • 实现方法：上商 0/1，得到余数，余数末尾补 0
    • 符号位单独处理：符号位 =xs⊕ysx_s\oplus y_s
    • 数值位取绝对值进行除法计算
    • 计算机先默认上商 1，求余数：(ACC)-(除数)->ACC，若得到的相减结果（ACC+[-|y|] 补 ->ACC）为负数，则改上商 0，并恢复余数（ACC+[|y|] 补 ->ACC）
    • ACC、MQ 整体逻辑左移，ACC 高位丢弃，MQ 低位补 0

  • 加减交替法：

    • 若余数为负，则可直接商 0，让余数逻辑左移一位再加上 | 除数 | 得到下一个新余数
    • 若余数为正，则商 1，让余数左移 1 位再减去 | 除数 |，得到下一个新余数
    • 符号位也需要单独处理
    • 若最后得到的余数为负，则需商 0，并 +[|y|] 补得到正确余数

# 补码的除法运算

  • 符号位参与计算
  • 被除数 / 余数、除数采用双符号位

加减交替法：

  • 被除数和除数同号，则被除数减去除数；异号则加上除数

  • 余数和除数同号，商 1，余数左移一位减去除数

  • 余数和除数异号，商 0，余数左移一位加上除数

  • 重复 n 次

  • 但最后结果末位恒置为 1

除法类型符号位参与运算加减次数移位上商、加减原则说明
方向次数
原码加减交替法否N+1 或 N+2左N余数的正负若最终余数为负，需恢复余数
补码加减交替法是N+1左N余数和除数是否同号商末位恒置 1

# C 语言类型转换

无符号数与有符号数：不改变数据内容，改变解释方式

长整数变短整数：高位截断，保留低位

短整数变长整数：符号扩展

# 数据的存储和排列

最低有效字节、最高有效字节：

4 字节 int：01 23 45 67 H（16 进制）

01 为最高有效字节（MSB），67 为最低有效字节（LSB）

大小端模式：

  • 大端模式（方便人类阅读）：把最高有效字节存入更低地址，最低有效字节存入更高地址

  • 小端模式（便于机器处理）：把最高有效字节存入更高地址，最低有效字节存入更低地址

现代计算机通常是按字节编址，即每个字节对应 1 个地址，通常也支持按字、按半字、按字节寻址。假设存储字长位 32 位，则 1 个字 = 32bit，半字 = 16bit。每次访存只能读 / 写 1 个字

边界对齐方式：访问一个字 / 半字都只需要一次访存

边界不对齐方式：访问一个字 / 半字可能需要两次访存